Collatz Sanısı: Kanıtlanamamış Bir Matematik Teoremi

1930’larda Lothar Collatz tarafından ilk kez ortaya konulduğu düşünülen teorem, farklı isimlerle de bilinmektedir. Bunlardan en çok kullanılanı “3N+1 Teoremi” ya da “Dolu Tanesi Sayılarıdır“. Bunun yanı sıra teorem; Ulam Teoremi (Stanislaw Ulam), Kakutani Problemi (Shizuo Kakutani), Thwaites Teoremi (Bryan Thwaites), Hasse Algoritması (Helmut Hasse) ve Syracuse Problemi olarak da bilinir.

Teoreme göre pozitif bir tam sayı her zaman 1’e (Bir) indirgenebilir. Yapılacak bir dizi işlem sonucunda her sayının 1’e eşitleneceğini ileri süren Collatz Sanısı, temel olarak basit bir matematik formülüne dayanmaktadır. Formül uyarınca ele alınan pozitif tam sayının çift ve tek olmasına göre uygulanacak olan işlem dizisi farklıdır. Buna göre;

• -Ele alınan sayı çift ise; sayı 2’ye bölünecektir,
• -Ele alınan sayı tek ise; sayı 3 ile çarpılarak 1 eklenecektir.

Teorem uyarınca yapılan işlem sonucunda elde edilen sayı da tekrardan bu döngüye sokulacak ve işlem ne kadar uzun sürerse sürsün, sonuç her zaman 1 olacaktır. Collatz Sanısı’nın basit bir uygulama örneğini oluşturmak için 13 sayısını ele alalım;

13 Tek olduğu için (13×3)+1 sonuç 40,
40 Çift olduğu için 40:2 sonuç 20,
20 Çift olduğu için 20:2 sonuç 10,
10 Çift olduğu için 10:2 sonuç 5,
5 Tek olduğu için (5×3)+1 sonuç 16,
16 Çift olduğu için 16:2 sonuç 8,
8 Çift olduğu için 8:2 sonuç 4,
4 Çift olduğu için 4:2 sonuç 2,
2 Çift olduğu için 2:2 sonuç 1,

İşte teorem, buna benzer şekilde ele alınan herhangi bir pozitif tam sayının bu döngüye sokulması halinde her zaman 1’e eşitleneceğini söylemektedir. Ancak teorem, matematik çevrelerince halen kabul görmüş değildir. Zira hayli fazla sayı için denenmiş ve her defasında 1 sonucunu vermiş olmasına rağmen; formül ispatının henüz gerçekleştirilmemiş olması nedeniyle halen bir ‘teorem‘ olarak kabul edilmektedir.

Her ne kadar ‘basit bir matematik formülüne’ dayanıyor olsa da ünlü matematikçi Paul Erdös, Collatz Sanısı için “matematik, henüz böyle problemlere hazır olmayabilir” diyerek aslında teoremin ardında ne kadar derin bir mantık örgüsünün yattığını belirtmiştir.

Teoremin 2’den 10.000’e kadar olan sayılarda verdiği sonuçları görmek için bu linki (Collatz Sanısı İlk 10.000 Sayının Sonuçları) ziyaret edebilirsiniz. Hepsinde de sonuç 1’e eşitlenmiş durumda. Teoremin daha farklı sayılarda hangi aşamalardan geçerek sonuca ulaştığını merak ediyorsanız da bu link üzerindeki Collatz Sanısı Hesaplayıcı ile merakınızı giderebilirsiniz. Aşağıdaki resimde Collatz Sanısı ile elde edilen sonuçlara ilişkin grafiklerin, çeşitli şekilde görselleştirilmiş hallerini görebilirsiniz.

Siz de matematik ve teoremlere meraklıysanız ya da en azından Collatz Sanısı ilginizi çektiyse; teoremin her zaman tutarlı olduğunu bir formülle ispat ederek veya teoremin döngüsüne sokulunca sonuçta 1’e ulaşmayan sayıyı bularak matematik tarihine geçebilirsiniz.

Kaynak: Matematikce, MathCelebrity, Wikipedia, Beycannet.